cap 2

2. PUNCTUL

2.1  Reprezentarea punctului în epură

Folosind cele două plane de proiecţie perpendiculare ( [H] – orizontal şi [V] – vertical ) care se intersectează după dreapta (OX) – axă de proiecţie sau linie de pământ, un punct A din spaţiu se va proiecta pe [H] în a – proiecţia orizontală a punctului şi pe [V] în a’– proiecţia verticală a punctului. Distanţa de la punctul A la [H] se numeşte cotă şi se notează cu z, iar distanţa de la punctul A la [V] se numeşte depărtare şi se notează cu y , (Fig. 2.1).

    Fig. 2.1 

          Fig. 2.2

                

Prin rotirea [H] în sensul acelor de ceasornic până la suprapunerea peste [V] se obţine epura, (Fig. 2.2). EPURA este reprezentare plană convenţională a corpurilor spaţiale, proiectate ortogonal pe planele de proiecţie, utilizând numai axele de proiecţie. În proiecţia dublu ortogonală (sistemul Monge), un punct A din spaţiu este definit în epură de două proiecţii a şi a’, iar două proiecţii aflate pe aceeaşi linie de ordine definesc un punct din spaţiu.

2.2  Punctul în diedre

Diedrul – unghiul format între două plane care se intersectează. În cazul proiecţiei ortogonale, planele [H] şi [V] împart spaţiul în 4 diedre (Fig.2.3), notate I, II, III şi IV. În Fig. 2.4 sunt prezentate în epură puncte situate în cele 4 diedre. În funcţie de diedrul în care sunt conţinute, semnele lui z şi y sunt pozitive sau negative, (Tab. 2.1).

Diedrul     Coordonata	I	II	III	IV
Depărtarea	+	–	–	+
Cota	+	+	–	–

  Fig. 2.3  

    

   Fig. 2.4

2.3  Punctul în triedre

Unghiul format de 3 plane concurente se numeşte unghi triedru. În cazul folosirii celui de-al treilea plan de proiecţie [W] – plan lateral de proiecţie, care este perpendicular pe [H] şi [V], un punct A din spaţiu (Fig. 2.5) va avea şi a treia proiecţie a’’. Distanţa de la punctul A la planul [W] se numeşte abscisă şi se notează cu x. Epura se obţine prin rotirea planului [H] în sensul acelor de ceasornic şi prin rotirea planului [W] în sens invers acelor de ceasornic, până se suprapun peste [V] (Fig. 2.6). Proiecţia a’’ descrie în această rotaţie un arc de cerc de rază egală cu depărtarea. Pla-nele [H], [V] şi [W] împart spaţiul în 8 triedre, notate cu I, II, III, ... VIII. Puncte situate în cele opt triedre sunt prezentate în epură în Fig. 2.7, iar în Tab. 2.2 este sistematizat semnul coordonatelor x, y şi z în cele 8 triedre.

        Tabelul  2.2

Triedrul	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
Semnul x	+	+	+	+	–	–	–	–
Semnul y	+	–	–	+	+	–	–	+
Semnul z	+	+	–	–	+	+	–	–

         

     Fig. 2.5    

    Fig. 2.6   

  

Fig. 2.7

                    

              

 2.4  Puncte situate în plane bisectoare

Aceste puncte au distanţa egală cu cota.

Se cunosc două plane bisectoare: planul bisector unu: planul care împarte diedrele unu şi trei în aşa fel încât toate punctele acestui plan au depărtarea egală cu cota; planul bisector doi: planul care împarte diedrele doi şi patru în aşa fel încât toate punctele acestui plan au depărtarea egală cu cota. Convenţional, aceste plane se notează [B₁] şi [B₂],(Fig. 2.8).

Fig. 2.8

Dacă E (e, e’) Î [B₁] şi se găseşte în diedrul I, atunci cota va fi egală cu depărtarea şi ambele vor fi pozitive, (Fig. 2.9). Epura unui astfel de punct va arata ca în Fig. 2.9, proiecţiile e şi e’ fiind simetrice faţă de linia de pământ.

Fig. 2.9

Idem cu punctele F (f, f’) Î [B₂], G (g, g’) Î [B₁]  şi H (e,e’) Î [B₂].

2.5  Puncte situate pe linia de pământ

Sunt situate pe dreapta de intersecţie dintre planele [H] şi [V] - (OX) şi aparţin concomitent ambelor planuri; deci, aceste puncte au atât cotele, cât şi depărtările egale cu 0. În această situaţie, proiecţiile orizontale şi verticale se vor confunda cu însăşi punctul din spaţiu.

2.6  Puncte situate în planele de proiecţie

Caracteristica unor astfel de puncte este că una din coordonatele descriptive este egală cu 0 şi, prin urmare, una din proiecţii se va confunda 

cu însăşi punctul din spaţiu , în timp ce cealaltă proiecţie se va găsi pe linia de pământ, (punctele I, J, K, L din Fig. 2.9).

Epurele tuturor punctelor prezentate la punctele: 2.2, 2.3, 2.4 şi 2.5 sunt prezentate în Fig. 2.10.

Fig. 2.10

2.7 Alfabetul punctului

Sintetizând cele expuse la reprezentarea punctului, se poate concluziona că: un punct poate ocupa 17 poziţii în regiunile spaţiului limitat la planele de proiecţie şi planele bisectoare (Fig. 2.11). Această succesiune de poziţii se numeşte alfabetul punctului.

Comparând cele 17 poziţii ale punctelor de la A la S din Fig. 2.11 şi din epurele punctelor (Fig. 2.12), rezultă următoarele:

Fig. 2.11

Fig. 2.12

cap.1 a

1       

1         1.    SISTEME DE PROIECŢIE

1.1 Generalităţi

Sistemele de proiecţie folosite de geometria descriptivă asociază elemente de bază ale vederii umane (teoremele privind fasciculele de lumină) cu elemente geometrice componente ale sistemului de proiecţie respectiv.

Reprezentarea unui corp prin proiecţie se obţine ducând prin punctele aferente conturului raze vizuale (de proiecţie) numite proiectante, adică linii drepte care, la intersecţia lor cu planul de proiecţie (planul pe care se face proiecţia) dau pe acesta imaginea (proiecţia) corpului.

Elementele de bază ale unei proiecţii sunt (Fig.1.1) :

•           punctul  0 (ochiul observatorului), numit centru de proiecţie;
•               suprafaţa P pe care se proiectează obiectul (dreapta AB), numit plan de proiecţie;
•        dreptele sau razele vizuale care trec prin punctele caracteristice (A şi B) ale corpului şi intersectează planul de proiecţie [P] în a şi b, numite proiectante;
•           punctele a şi b obţinute pe planul [P], care constituie proiecţia punctelor A şi B.

Fig. 1.1

La proiecţia corpului AB pe planul de proiecţie [P] se duc din centrul 0 de proiecţie proiectante prin punctele caracteristice A şi B, acestea determină punctele a şi b la intersecţia lor cu planul de proiecţie.

În raport de distanţa centrului de proiecţie faţă de corp, proiecţia corpului din spaţiu se realizează prin două metode:

-       proiecţia centrală sau conică (Fig.1.2a) când centrul de proiecţie se află la o distanţă finită faţă de corp;

-       proiecţia paralelă sau cilindrică (Fig.1.2 b,c) când centrul de proiecţie se află la distanţă infinită faţă de corp.

La rândul ei, proiecţia paralelă este de două feluri:

·      proiecţia paralelă oblică (Fig.1.2b) când direcţia de proiecţie este înclinată faţă de planul de proiecţie [P];

·      proiecţia paralelă ortogonală (Fig.1.2c), când direcţia de proiecţie este perpendiculară pe planul de proiecţie [P].

 Fig. 1.2

   Oricare ar fi sistemul de proiecţie utilizat, corpurile din spaţiu apar deformate în proiecţia din planul de proiecţie datorită mecanismului fasciculelor de lumină, deformări care se produc după anumite teoreme geometrice specifice fiecărui sistem în parte, care transformă corpul din spaţiul tridimensional într-o imagine în spaţiul bidimensional (foaia de hârtie).

Pentru reprezentarea corpurilor DESENUL TEHNIC utilizează metoda proiecţiei cilindrice ortogonale.

1        1.2  Sisteme de referinţă

Pentru a proiecta un corp oarecare din spaţiu pe un plan de proiecţie, trebuie să îl încadrăm într-un sistem de referinţă denumit sistem de proiecţie.

Definiţie. Sistemul de proiecţie reprezintă un ansamblu de elemente şi metode care permit trecerea de la un spaţiu cu un număr de dimensiuni la un alt spaţiu cu un alt număr de dimensiuni.

Gaspard Monge a definit sistemul de proiecţie ortogonal format de două plane de proiecţie perpendiculare între ele, planul de proiecţie orizontal [H] şi planul de proiecţie vertical [V], care se intersectează după dreapta Ox (O în dreapta) numită linie de pământ. Având în vedere că spaţiul este infinit şi că planele sunt suprafeţe infinite, împărţirea spaţiului se consideră în 4(patru) subspaţii, denumite diedre (Fig. 1.3), cel mai utilizat în tehnică fiind Diedrul I, unde toate coordonatele sunt pozitive (Tab. 1.1).

Definiţie. Diedrul este figura formată de două semiplane mărginite de dreapta lor de intersecţie (porţiunea din spaţiu cuprinsă între aceste semiplane).

  Fig. 1.3 a

 Fig. 1.3 b

                                 

Tabelul 1.1

DIEDRUL / Coordonata	I	II	III	IV
Depărtarea	+	-	-	+
Cota	+	+	-	-

 

        In tot timpul acest sistem de proiecţie poate defini complet corpul din spaţiul tridimensional; din această cauză, Gaspard Monge a introdus sistemului de proiecţie anterior prezentat un al treilea plan de proiecţie perpendicular pe planele [H] şi [V] numit plan lateral [L]. Sistemul de plane [H], [V] şi [L] a căror intersecţie două câte două formează sistemul de axe rectangulare OXZY este cel mai utilizat sistem de referinţă fiind denumit triedrul ortogonal de proiecţie, Fig.1.4.

linia de pământ ;

axa secundară ;

axa secundară ;

originea axelor O

Având în vedere infinitatea spaţiului şi a suprafeţelor împărţirea spaţiului se consideră în 8 (opt) subspaţii denumite triedre, cel mai utilizat în tehnică fiind triedrul I unde coordonatele sunt pozitive (Tab. 1.2); pentru uşurinţa limbajului şi a construcţiilor în literatura de specialitate se foloseşte denumirea de diedru şi pentru triedre, notaţiile consacrate fiind de cele opt diedre.

       Tabelul 1.2

DIEDRUL / Coordonata	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
Abscisa	+	+	+	+	_	_	_	_
Depărtarea	+	_	_	+	+	_	_	+
Cota	+	+	_	_	+	+	_	_

  Fig. 1.4 a  

 Fig. 1.4  b 

  Fig. 1.4  c

1    1.3 Sisteme de reprezentare

Sistemele cele mai utilizate în DESENUL TEHNIC sunt:

Perspectiva este sistemul de reprezentare care are la bază proiecţia centrală pe un plan de proiecţie [P], aşezat între corp şi centrul de proiecţie (ochiul observatorului), Fig.1.5. Este folosit cu precădere în arhitectură şi construcţii.

          

        

                                 Fig. 1.5             a.                                                 b.

Dubla proieţie ortogonală este sistemul de reprezentare cunoscut sub denumirea de METODA MONGE şi are la bază proiecţia paralel ortogonală pe două sau mai multe plane de proiecţie perpendiculare între ele; planul orizontal [H] şi planele verticale de front [V] şi de profil [L], Fig.1.6.

   Fig. 1.6

 Fig. 1.7

 Se alege în aşa fel proiecţia corpului astfel încât diversele feţe ale lui să fie paralele cu planele de proiecţie, astfel încât feţele corpului să se proiecteze în “adevărata” lor mărime pe planele de proiecţie. După proiecţia corpului pe cele trei plane de proiecţie ale sistemului de referinţă (triedrul ortogonal de proiecţie OXZY) se procedează la rabaterea planelor, planul orizontal [H] înspre în jos iar planul de profil [L] lateral spre spate, până când se suprapun pe extensia planului vertical (foaia de hârtie). Rabaterea se face în jurul axelor sistemului rectangular OXZY cu 90⁰ ; figura asfel obţinută se numeşte epură, Fig.1.7.

Definiţie. Epura este desenul care conţine rezolvarea grafică a unor probleme de geometrie în spaţiu prin intermediul geometriei descriptive.

Un corp în spaţiu (structură spaţială) poate fi proiectat cu unghiuri drepte pe şase planuri care formează suprafaţa unui cub (Fig.1.8 a, b, c).

  Fig. 1.18  a

  

Fig. 1.8 b                                                                           c

Această reprezentare cunoscută sub denumirea celor “6 proiecţii principale” nu oferă tot timpul proiecţia elementelor geometrice ale corpului în adevărata mărime pe planele de proiecţie datorită deformărilor imaginilor din spaţiul tridimensional în spaţiul bidimensional.        

Reprezentarea axonometrică este sistemul de reprezentare a corpurilor din spaţiu pe un singur plan de proiecţie [P] numit plan axonometric prin proiecţie paralelă, oblică sau ortogonală şi prin care se urmăreşte ca imaginea obţinută să sugereze spaţial corpul. Metoda foloseşte raportarea prealabilă la triedrul ortogonal OXYZ, Fig.1.9.

Fig. 1.9

Reprezentarea cotată este sistemul de reprezentare a suprafeţelor şi utilizează atât elemente geometrice ( proiecţia paralelă ortogonală pe planul de proiecţie orizontal [H] ) cât şi elemente numerice ce definesc cotele ( adâncimi sau înălţimi ).

·      Curbele de nivel. Urma din plan rezultată după intersecţia unei forme de relief cu un plan [P] paralel cu planul de proiecţie orizontal [H] de cotă zero (plan de comparaţie – nivelul constant al mării) se numeşte curbă de nivel (Fig.1.10, Fig.1.11) şi se utilizează în topografie şi cartografie.

Fig. 1.10  

   

Fig. 1.11

·      Liniile de plutire Carcasa unei nave are o formă destul de complicată. Pentru reprezentare se duc trei sisteme de plane verticale şi se construiesc intersecţiile lor cu suprafaţa exterioară a carcasei, Fig.1.12.

Fig. 1.12 

      Planele secante se duc:

a. orizontal, curbele de intersecţie I . . . VI se numesc linii de plutire, fiind curbele pe care le trasează apa pe carcasa navei pe măsură ce aceasta se scufundă în funcţie de greutatea încărcăturii. Pe vederea laterală a carcasei, precum şi pe vederea de sus (dinspre proră) şi din spate (dinspre pupă), liniile de plutire sunt reprezentate de drepte orizontale. Toate liniile de plutire se obţin în plan în mărime naturală.

b. vertical, paralel cu axa longitudinală a navei, curbele de intersecţie corespunzătoare A, B, C sunt reprezentate în plan şi pe vederea din faţă (şi din spate) prin linii drepte, iar în vederea laterală prin linii curbe.

c. vertical, perpendicular pe axa longitudinală a navei, planele de coastă sunt planele perpendiculare pe axa longitudinală a navei. Curbele de intersecţie 0, 1, 2, . . . 10, sunt reprezentate în plan şi pe vederea laterală prin linii drepte, iar pe vederea din faţă ( şi din spate) prin linii curbe.