cap 2

2. PUNCTUL

2.1  Reprezentarea punctului în epură

Folosind cele două plane de proiecţie perpendiculare ( [H] – orizontal şi [V] – vertical ) care se intersectează după dreapta (OX) – axă de proiecţie sau linie de pământ, un punct A din spaţiu se va proiecta pe [H] în a – proiecţia orizontală a punctului şi pe [V] în a’– proiecţia verticală a punctului. Distanţa de la punctul A la [H] se numeşte cotă şi se notează cu z, iar distanţa de la punctul A la [V] se numeşte depărtare şi se notează cu y , (Fig. 2.1).

    Fig. 2.1 

          Fig. 2.2

                

Prin rotirea [H] în sensul acelor de ceasornic până la suprapunerea peste [V] se obţine epura, (Fig. 2.2). EPURA este reprezentare plană convenţională a corpurilor spaţiale, proiectate ortogonal pe planele de proiecţie, utilizând numai axele de proiecţie. În proiecţia dublu ortogonală (sistemul Monge), un punct A din spaţiu este definit în epură de două proiecţii a şi a’, iar două proiecţii aflate pe aceeaşi linie de ordine definesc un punct din spaţiu.

2.2  Punctul în diedre

Diedrul – unghiul format între două plane care se intersectează. În cazul proiecţiei ortogonale, planele [H] şi [V] împart spaţiul în 4 diedre (Fig.2.3), notate I, II, III şi IV. În Fig. 2.4 sunt prezentate în epură puncte situate în cele 4 diedre. În funcţie de diedrul în care sunt conţinute, semnele lui z şi y sunt pozitive sau negative, (Tab. 2.1).

Diedrul     Coordonata	I	II	III	IV
Depărtarea	+	–	–	+
Cota	+	+	–	–

  Fig. 2.3  

    

   Fig. 2.4

2.3  Punctul în triedre

Unghiul format de 3 plane concurente se numeşte unghi triedru. În cazul folosirii celui de-al treilea plan de proiecţie [W] – plan lateral de proiecţie, care este perpendicular pe [H] şi [V], un punct A din spaţiu (Fig. 2.5) va avea şi a treia proiecţie a’’. Distanţa de la punctul A la planul [W] se numeşte abscisă şi se notează cu x. Epura se obţine prin rotirea planului [H] în sensul acelor de ceasornic şi prin rotirea planului [W] în sens invers acelor de ceasornic, până se suprapun peste [V] (Fig. 2.6). Proiecţia a’’ descrie în această rotaţie un arc de cerc de rază egală cu depărtarea. Pla-nele [H], [V] şi [W] împart spaţiul în 8 triedre, notate cu I, II, III, ... VIII. Puncte situate în cele opt triedre sunt prezentate în epură în Fig. 2.7, iar în Tab. 2.2 este sistematizat semnul coordonatelor x, y şi z în cele 8 triedre.

        Tabelul  2.2

Triedrul	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
Semnul x	+	+	+	+	–	–	–	–
Semnul y	+	–	–	+	+	–	–	+
Semnul z	+	+	–	–	+	+	–	–

         

     Fig. 2.5    

    Fig. 2.6   

  

Fig. 2.7

                    

              

 2.4  Puncte situate în plane bisectoare

Aceste puncte au distanţa egală cu cota.

Se cunosc două plane bisectoare: planul bisector unu: planul care împarte diedrele unu şi trei în aşa fel încât toate punctele acestui plan au depărtarea egală cu cota; planul bisector doi: planul care împarte diedrele doi şi patru în aşa fel încât toate punctele acestui plan au depărtarea egală cu cota. Convenţional, aceste plane se notează [B₁] şi [B₂],(Fig. 2.8).

Fig. 2.8

Dacă E (e, e’) Î [B₁] şi se găseşte în diedrul I, atunci cota va fi egală cu depărtarea şi ambele vor fi pozitive, (Fig. 2.9). Epura unui astfel de punct va arata ca în Fig. 2.9, proiecţiile e şi e’ fiind simetrice faţă de linia de pământ.

Fig. 2.9

Idem cu punctele F (f, f’) Î [B₂], G (g, g’) Î [B₁]  şi H (e,e’) Î [B₂].

2.5  Puncte situate pe linia de pământ

Sunt situate pe dreapta de intersecţie dintre planele [H] şi [V] - (OX) şi aparţin concomitent ambelor planuri; deci, aceste puncte au atât cotele, cât şi depărtările egale cu 0. În această situaţie, proiecţiile orizontale şi verticale se vor confunda cu însăşi punctul din spaţiu.

2.6  Puncte situate în planele de proiecţie

Caracteristica unor astfel de puncte este că una din coordonatele descriptive este egală cu 0 şi, prin urmare, una din proiecţii se va confunda 

cu însăşi punctul din spaţiu , în timp ce cealaltă proiecţie se va găsi pe linia de pământ, (punctele I, J, K, L din Fig. 2.9).

Epurele tuturor punctelor prezentate la punctele: 2.2, 2.3, 2.4 şi 2.5 sunt prezentate în Fig. 2.10.

Fig. 2.10

2.7 Alfabetul punctului

Sintetizând cele expuse la reprezentarea punctului, se poate concluziona că: un punct poate ocupa 17 poziţii în regiunile spaţiului limitat la planele de proiecţie şi planele bisectoare (Fig. 2.11). Această succesiune de poziţii se numeşte alfabetul punctului.

Comparând cele 17 poziţii ale punctelor de la A la S din Fig. 2.11 şi din epurele punctelor (Fig. 2.12), rezultă următoarele:

Fig. 2.11

Fig. 2.12